Διαφορικές Εξισώσεις

ΜΑΘΗΣΙΑΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Στόχος είναι η εξοικείωση με τη χρήση και επίλυση διαφορικών εξισώσεων ώστε οι φοιτητές να τις χρησιμοποιούν στη μοντελοποίηση προβλημάτων της ειδικότητας του Μηχανικού.

Μετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, οι φοιτητές:

• θα έχουν κατανοήσει βασικές μαθηματικές έννοιες και τη μεθοδολογία επίλυσης διαφορικών εξισώσεων πρώτης και ανώτερης τάξης, συστημάτων διαφορικών εξισώσεων καθώς και τη χρήση σειρών Fourier.
• θα μπορούν να αξιοποιούν τις διαφορικές εξισώσεις και να μοντελοποιούν προβλήματα της ειδικότητας τους, να τα επιλύουν και να διατυπώνουν συμπεράσματα,
• θα είναι σε θέση να συνδέσουν τις μαθηματικές μεθοδολογίες που διδάχθηκαν και να εφαρμόσουν την αποκτηθείσα γνώση στο αντικείμενο του Μηχανικού Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής,
• γενικότερα θα είναι σε θέση να εφαρμόσουν όλα τα παραπάνω σε άλλες θεματικές περιοχές της ειδικότητας του Μηχανικού.

 

Γενικές Ικανότητες

• Άσκηση κριτικής και αυτοκριτικής
• Μαθηματική σκέψη και ανάλυση
• Μαθηματική και αναλυτική παρουσίαση γεωμετρικών εννοιών
• Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων
• Αυτόνομη εργασία
• Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης

 

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

• Βασικές έννοιες, λύση διαφορικής εξίσωσης (μερική και γενική), προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών.
• Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης, ταξινόμηση και μέθοδοι επίλυσης, χωριζομένων μεταβλητών, γραμμικές, ομογενείς, πλήρεις, παράγοντες ολοκλήρωσης, Bernoulli, Ricatti. Εφαρμογές σε προβλήματα της ειδικότητας του Μηχανικού.
• Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης με σταθερούς ή μεταβλητούς συντελεστές, ορισμοί, oρίζουσα Wronsky, μέθοδοι επίλυσης, λύση ομογενούς, γενική λύση της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης, η μέθοδος προσδιορισμού των συντελεστών, η μέθοδος μεταβολής των σταθερών. Εξισώσεις του Euler. Προβλήματα αρχικών τιμών και εφαρμογές στη μηχανική και τον ηλεκτρισμό.
• Λύση διαφορικών εξισώσεων με χρήση δυναμοσειρών, ομαλά και ανώμαλα (ιδιάζοντα) σημεία, ύπαρξη αναλυτικών λύσεων, λύση σε κανονικά ιδιάζοντα σημεία.
• Συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων, μέθοδος πινάκων.
• Μετασχηματισμός Laplace, ορισμός και ιδιότητες, επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές με το μετασχηματισμό Laplace. Αναγωγή διαφορικής εξίσωσης σε σύστημα 1ης τάξης.
• Εξισώσεις Bessel και Legendre, συναρτήσεις Γάμμα, δ-Dirac.
• Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους, γραμμικές, προβλήματα συνοριακών τιμών, η μέθοδος χωρισμού των μεταβλητών.
• Σειρές Fourier, συνθήκες του Dirichlet, ταυτότητα του Parseval. Εφαρμογές των σειρών Fourier.
• Μιγαδικές Συναρτήσεις και εφαρμογές τους

 

Μέθοδος Αξιολόγησης:

• γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου
• γραπτές εργασίες (υπό τη μορφή προόδου) στη διάρκεια του εξαμήνου

Τα κριτήρια αξιολόγησης έχουν παρουσιασθεί πριν την τελική εξέταση στους φοιτητές και η επιμέρους βαθμολογία των θεμάτων αναγράφεται σε αυτά. Οι φοιτητές μπορούν να δουν το γραπτό τους και τις επιμέρους βαθμολογίες τους στα θέματα, καθώς επίσης να λάβουν διευκρινήσεις σχετικά με αυτές αφού επισημανθούν τα όποια λάθη τους.

 

ΣΥΝΙΣΤΩΜΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Ελληνόγλωσση

1. Σεραφειμίδης Κ, 2009, Διαφορικές Εξισώσεις, Εκδόσεις Σοφία,.
2. Σταυρακάκης Ν, 2017, Διαφορικές Εξισώσεις: Συνήθεις και Μερικές. Θεωρία και Εφαρμογές από τη Φύση και τη Ζωή, Εκδότης: Τσότρας Αθανάσιος
3. W.E. Boyce, R.C. Di Prima, 2015, στοιχειώδεις διαφορικές εξισώσεις και προβλήματα συνοριακών τιμών, εκδόσεις ΕΜΠ.
4. Τραχανάς Σ., 2008, Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, ΙΤΕ-Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης.
5. Μπράτσος Αθανάσιος, 2015, Μαθήματα Ανώτερων Μαθηματικών, Εκδότης: Ελληνικά Ακαδημαϊκά Ηλεκτρονικά Συγγράμματα και Βοηθήματα – Αποθετήριο “Κάλλιπος”, ηλεκτρονικό βιβλίο. Διανομή ηλεκτρονική-URI: http://hdl.handle.net/11419/424
6. Ανώτερα Μαθηματικά, 2003, Μπράτσος Αθανάσιος, Εκδότης: Εκδόσεις Σταμούλη ΑΕ.
7. Γεωργούδης Ιωάννης, Μακρυγιάννης Αριστείδης, Πρεζεράκος Νικόλαος, 2016, Μαθηματικά για Μηχανικούς, Εκδότης: Σύγχρονη εκδοτική ΕΠΕ,.
8. Μαθηματικά ΙΙ, Μασούρος Χ. Τσίτουρας Χ., 2017, Εκδότης: Τσότρας Αθανάσιος.
9. Μαθηματικά ΙΙ, β έκδοση, Ρασσίας, 2017, Εκδότης: Εκδότης: Τσότρας Αθανάσιος.
10. Richard Bronson, 1978, Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις, ΕΣΠΙ εκδοτική
11. Spiegel Murrey, 1978, Ανάλυση Fourier, ΕΣΠΙ εκδοτική.

 

Ξενόγλωσση

1. Goodwine B. , 2011, Engineering Differential Equations, Springer.
2. Kalbaugh David V., 2017, Differential Equations for Engineers: The Essentials, CRC Press.
3. Kreyszig E., 2005, Advanced Engineering Mathematics, 9th edition, Wiley.
4. Glyn, J. et al., 2010, Advanced Modern Engineering Mathematics, 4th edition, Addison-Wesley Pub. Co.
5. Wylie C.R. and Barrett L.C., 1995, Advanced Engineering Mathematics, 6th edition, McGraw-Hill.
6. Zill D.G. and Cullen M.R., 2006, Advanced Engineering Mathematics, 3rd edition, Jones & Bartlett Pub.